Funktion eingeben
ohne f(x) =Rechenweg
jede Regel in der Reihenfolge ihrer AnwendungErgebnis
Zweite und höhere Ableitungen
Noch einmal ableiten liefert Beschleunigung, Krümmung und das Kriterium, mit dem du Hoch- und Tiefpunkte bestimmst.
Leitest du zweimal ab, erhältst du die zweite Ableitung, geschrieben \(f''(x)\), \(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\) oder \(y''\). Sie beschreibt, wie schnell sich die Änderungsrate selbst ändert: Ist \(f\) der Ort und \(f'\) die Geschwindigkeit, dann ist \(f''\) die Beschleunigung. Stell im Rechner oben die Ordnung auf 2 – oder nutze den kleinen Rechner hier – und der Rechenweg zeigt jede Runde.
Was die zweite Ableitung verrät
- \(f'' > 0\): Der Graph ist linksgekrümmt (Linkskurve), und \(f'\) wächst.
- \(f'' < 0\): Der Graph ist rechtsgekrümmt (Rechtskurve), und \(f'\) fällt.
- \(f'' = 0\) mit Vorzeichenwechsel: ein Wendepunkt, an dem die Krümmung umschlägt.
Die hinreichende Bedingung für Extrempunkte
An einer Stelle mit \(f'(a) = 0\) entscheidet die zweite Ableitung, ohne dass du Vorzeichen links und rechts prüfen musst: \(f''(a) > 0\) bedeutet ein Minimum (Tiefpunkt), \(f''(a) < 0\) ein Maximum (Hochpunkt). Bei \(f''(a) = 0\) ist keine Aussage möglich – dann hilft das Vorzeichenwechselkriterium mit der ersten Ableitung weiter.
Dritte, vierte und n-te Ableitung
Leitest du weiter ab, wechselt die Schreibweise von Strichen zu \(f^{(4)}\), \(f^{(5)}\), \(f^{(n)}\). Manche Funktionen folgen dabei einem Muster: \(e^{x}\) bleibt bei jeder Ordnung gleich, \(\sin x\) kehrt nach vier Ableitungen zu sich selbst zurück, und ein Polynom vom Grad \(n\) wird bei der Ordnung \(n+1\) zu null. Andere wachsen, ohne sich je zu wiederholen – die fünfte Ableitung eines Produkts kann hundert Schritte umfassen. Deshalb gibt der Rechner den Rechenweg portionsweise aus.
So funktioniert der Ableitungsrechner
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Einlesen
Deine Eingabe wird in einen Baum aus Rechenoperationen übersetzt. Fehlende Malpunkte ergänzt der Rechner dort, wo du sie weggelassen hast.
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Darstellen
Der Baum wird in mathematischer Schreibweise gesetzt, damit du prüfen kannst, ob der Rechner genau das gelesen hat, was du gemeint hast.
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Ableiten
Eine Regel pro Knoten – Summen-, Produkt-, Quotienten-, Potenz-, Kettenregel – und jede Anwendung wird als Schritt im Rechenweg festgehalten.
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Vereinfachen und zeichnen
Das Ergebnis wird mit exakter Bruchrechnung vereinfacht, danach werden beide Kurven abgetastet und gezeichnet.
Schreibweise und Regeln
Alles, was der Rechner als Eingabe versteht, und alle Regeln, die er anwendet. Jeder Regelname führt zu einer eigenen Seite mit Beispielen.
Angewandte Regeln
| Regel | Formel |
|---|---|
| Konstante | \(\frac{d}{dx}c = 0\) |
| Variable | \(\frac{d}{dx}x = 1\) |
| Summe | \(\left(f + g\right)' = f' + g'\) |
| Faktor | \(\left(cf\right)' = c\,f'\) |
| Potenz | \(\frac{d}{dx}x^{n} = n x^{n-1}\) |
| Produkt | \(\left(fg\right)' = f'g + fg'\) |
| Quotient | \(\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^{2}}\) |
| Kette | \(\left(f \circ g\right)' = f'(g)\,g'\) |
| Exponentialfunktion | \(\frac{d}{dx}a^{x} = a^{x}\ln a\) |
| Logarithmus (ln) | \(\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}\) |
| Logarithmus zur Basis a | \(\frac{d}{dx}\log_{a} x = \frac{1}{x\ln a}\) |
| Winkelfunktionen | \(\frac{d}{dx}\sin x = \cos x\) |
| Arkusfunktionen | \(\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1 + x^{2}}\) |
| Hyperbelfunktionen | \(\frac{d}{dx}\tanh x = \operatorname{sech}^{2} x\) |
| Areafunktionen | \(\frac{d}{dx}\operatorname{artanh} x = \frac{1}{1 - x^{2}}\) |
| Betragsfunktion | \(\frac{d}{dx}\left|x\right| = \operatorname{sgn} x, \; x \neq 0\) |
| Logarithmisches Differenzieren | \(\frac{d}{dx}f^{g} = f^{g}\left(g'\ln f + \frac{gf'}{f}\right)\) |
| Umschreiben in ln | \(\log_{a} b = \frac{\ln b}{\ln a}\) |
Eingabe
| Du tippst | Bedeutung |
|---|---|
2x, 3(x+1) | Malpunkt darf fehlen |
x^3, x**3 | Potenzen – x² und x³ gehen auch |
2.5 | Dezimalzahlen mit Punkt, nicht mit Komma |
sqrt(x), √x | Quadratwurzel |
cbrt(x) | Kubikwurzel |
e^x, exp(x) | e-Funktion |
ln(x), log(x) | Natürlicher Logarithmus |
log(a, x), log2(x), lg(x) | Logarithmus zur Basis a, 2 oder 10 |
sin^2(x) | Das Quadrat von sin x |
tan^-1(x), arctan(x) | Arkustangens |
|x-1|, abs(x-1) | Betrag |
pi, e, tau | Konstanten |
x_1, theta | Indizes und griechische Buchstaben |
Weitere Ableitungsrechner
Der Rechner oben leitet gewöhnliche Funktionen bis zur fünften Ordnung ab. Diese Seiten nutzen dieselbe Engine für Fälle, die eigene Eingaben oder eine eigene Erklärung brauchen.
Partielle Ableitungen
Funktionen mit zwei oder drei Variablen – abgeleitet nach genau der Variable, die du wählst.
Ableitung an einer Stelle
Die Steigung als Zahl an jeder beliebigen Stelle, dazu die Tangentengleichung.
Graph der Ableitung
Funktion und Ableitung in einem Koordinatensystem – Extrem- und Wendestellen direkt ablesen.
Implizites Differenzieren
dy/dx für Kurven wie x² + y² = 25, die nicht nach y aufgelöst sind.
Parameter- und Polarkurven
Kurven in der Form x(t), y(t) oder r(θ) – dy/dx über den Parameter.
Richtungsableitung
Der Gradient einer Fläche und wie steil sie in einer beliebigen Richtung ansteigt.
Numerische Ableitung
Eine Ableitung nur aus Funktionswerten schätzen und mit dem exakten Wert vergleichen.
Ableitung eines Integrals
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und die Kettenregel für variable Grenzen.
Die Mathematik verstehen
Erklärungen statt Werkzeuge – für die Momente, in denen es nicht nur um das Ergebnis geht.
Was ist eine Ableitung?
Definition, Schreibweisen und wo Ableitungen in Schule und Studium vorkommen.
Die h-Methode
Die Ableitung über den Differentialquotienten, langsam vorgerechnet für x², √x und sin x.
Übungsaufgaben
Aufgaben nach Regeln sortiert, mit Lösungen und einer Tabelle der Standardableitungen.
Formelsammlung
Alle Regeln und Standardableitungen auf einer druckbaren Seite.
Suchst du eine bestimmte Regel? Unter Regeln findest du alle achtzehn, jede mit durchgerechneten Beispielen und Graphen.
Häufige Fragen
Zeigt der Rechner jeden Schritt?
Ja. Jede Regel, die der Rechner anwendet, wird festgehalten und der Reihe nach aufgelistet – mit der allgemeinen Formel und einer kurzen Erklärung, warum sie hier greift. Lange Ausdrücke werden portionsweise ausgegeben, damit die Seite schnell bleibt.
Welche Funktionen werden unterstützt?
Polynome und Wurzeln, Exponentialfunktionen und Logarithmen zu jeder Basis, alle sechs Winkelfunktionen und ihre Umkehrfunktionen (Arkusfunktionen), die Hyperbelfunktionen und ihre Umkehrungen (Areafunktionen) sowie Betrags- und Signumfunktion.
Kann der Rechner auch höhere Ableitungen bilden?
Ja – über die Auswahl „Ordnung“ bis zur fünften Ableitung. Jede Runde wird vollständig abgeleitet, und der Rechenweg jeder Runde wird Schritt für Schritt gezeigt.
Wird meine Eingabe an einen Server gesendet?
Nein. Einlesen, Ableiten, Vereinfachen und Zeichnen passieren komplett in deinem Browser. Deine zuletzt verwendeten Ausdrücke werden nur im lokalen Speicher deines eigenen Geräts abgelegt.
Funktioniert der Rechner auf dem Handy?
Ja. Das Layout ordnet sich in einer Spalte an, der Graph lässt sich mit dem Finger verschieben und mit zwei Fingern zoomen, und die Funktionstastatur liefert die Zeichen, die auf einer Handytastatur umständlich sind.
Wie benutze ich den Ableitungsrechner?
Tippe die Funktion ein – ohne „f(x) =“ – und klicke auf „Ableiten“. Malpunkte darfst du weglassen, 2x und 3(x+1) funktionieren also. Wähle Variable und Ordnung, wenn du etwas anderes als die erste Ableitung nach x brauchst. Dezimalzahlen schreibst du mit Punkt, zum Beispiel 2.5.
Kann der Rechner mit Konstanten und Parametern umgehen?
Ja. Jedes Symbol, das nicht die Ableitungsvariable ist, wird als Konstante behandelt – a, k und c verhalten sich also wie Zahlen. Über die Variablenauswahl legst du fest, nach welchem Symbol abgeleitet wird.
Funktioniert der Rechner offline?
Sobald die Seite geladen ist, ja. Einlesen, Ableiten, Vereinfachen und Zeichnen sind JavaScript, das auf deinem Gerät läuft – beim Klick auf „Ableiten“ wird keine Anfrage gestellt.
Kann ich das Ergebnis als LaTeX kopieren?
Ja – „LaTeX kopieren“ legt den Quelltext in die Zwischenablage, „Als Text kopieren“ liefert eine einfache ASCII-Form. „Link teilen“ kopiert einen Link, der denselben Ausdruck wieder öffnet.
Wie finde ich die Nullstellen der Ableitung?
Stellen mit waagerechter Tangente (f′(x) = 0) werden im Graphen automatisch markiert. Setzt du den Tangentenpunkt in die Nähe einer solchen Stelle, zeigt die Auswertung die Steigung 0 an und meldet einen stationären Punkt – der erste Schritt jeder Kurvendiskussion.
In welcher Klasse lernt man Ableitungen?
Je nach Bundesland in Klasse 10 oder 11, zu Beginn der Oberstufe: zuerst Änderungsraten und die h-Methode, dann die Ableitungsregeln. Bis zum Abitur kommen Kurvendiskussion, Extremwertaufgaben und die e-Funktion hinzu. An der Hochschule folgen Analysis I und II mit Ableitungen in mehreren Variablen.